位相空間の定義
定義1. 位相
集合 \(S\) および集合族 \(\mathcal{O}\subseteq2^S\) について
\(\mathcal{O}\) が \(S\) 上の位相であるとは, \(\mathcal{O}\) が以下の開集合系の公理を満たすことをいう.
[開集合系の公理]
\begin{align} &\emptyset,S\in\mathcal{O}\tag{1.1}\\[11pt] &\forall U_1,U_2\in\mathcal{O} \ (U_1\cap U_2\in\mathcal{O})\tag{1.2}\\[2pt] &\forall U_\lambda(\lambda\in\Lambda)\in\mathcal{O} \ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} U_\lambda\in\mathcal{O}\right)\tag{1.3} \end{align}定義2. 位相空間
非空集合 \(S\) と \(S\) 上の位相 \(\mathcal{O}\subseteq2^S\) の組 \((S,\mathcal{O})\) を位相空間という.
定理1. 距離位相
距離空間 \((S,d)\) における開集合の全体 \(\mathcal{O}\subseteq2^S\) は \(S\) 上の位相である.
(このときの \(\mathcal{O}\) を距離位相という)
位相空間は距離空間の一般化
参考. 距離空間における開球の定義
距離空間 \((S,d)\) および \(x_0\in S,\ r>0\in\mathbb{R}\) について
\[ S_r(x_0)=\{x\in S\ |\ d(x,x_0)\lt r\}\]を中心 \(x_0\), 半径 \(r\) の開球という.
参考. 距離空間における開集合の定義
距離空間 \((S,d)\) および \(U\subseteq S\) について
\[ UがSの開集合である\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall x_0\in U,\exists r>0\in\mathbb{R} \ \left(S_r(x_0)\subseteq U\right) \] \[ UがSの閉集合である\overset{\mathrm{def}}{\iff} \overline{U}がSの開集合である \]定理1の証明
距離空間 \((S,d)\) における開集合の全体
\[ \mathcal{O}=\{U\subseteq S\ | \ \forall x_0\in U\ \exists r>0\in\mathbb{R} \ (S_r(x_0)\subseteq U)\}\subseteq2^S \] \[ (S_r(x_0)=\{x\in S\ |\ d(x,x_0)\lt r\})\]が開集合系の公理を満足することを示す.
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(1.1) を満足することを示す.
\(\emptyset\in\mathcal{O}\) は明らか.
また \(\forall x_0\in S\ (S_1(x_0)\subseteq S)\) より \(S\in\mathcal{O}\)