Cramerの公式
定理1. Cramerの公式
任意の正則行列 \( A=[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n]\in\mathbb{C}^{n\times n} \) および \(\boldsymbol{b}\in\mathbb{C}^n\) に対する
連立一次方程式 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) の解 \( \boldsymbol{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T \in\mathbb{C}^n \) について
\begin{align} A_i&\triangleq[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}_{i+1},\cdots,\boldsymbol{a}_n] \\[5pt] x_i&=\frac{\det A_i}{\det A} \end{align}定理の証明
定理1の証明
\begin{align} \det A_i&=\det[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}_{i+1},\cdots,\boldsymbol{a}_n] \\[7pt] &=\det[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},A\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a}_{i+1},\cdots,\boldsymbol{a}_n] \\[5pt] &=\det[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots,\boldsymbol{a}_{i-1}, \sum_{j=1}^nx_j\boldsymbol{a}_j, \boldsymbol{a}_{i+1},\cdots,\boldsymbol{a}_n] \\ &=\sum_{j=1}^nx_j\det [\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{a}_j,\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots,\boldsymbol{a}_n] \\[8pt] &=x_i\det A \end{align}よって定理1は示された.