Hermite行列の定義
定義1. Hermite行列
任意の正方行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ Aが\mathrm{Hermite}行列である \overset{\mathrm{def}}{\iff}A=A^* \]Hermite行列の性質
定理1. Hermite行列の固有値
任意のHermite行列の固有値はすべて実数である.
すなわち
\begin{align} \forall A\in\mathbb{C}^{n\times n} \left(A=A^*\Longrightarrow \forall\lambda\in\mathbb{C} \ \forall\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n \ (A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Rightarrow\lambda\in\mathbb{R})\right) \end{align}定理2. Hermite行列の対角化可能性
任意のHermite行列は直交行列 \(P\in\mathbb{C}^{n\times n}\) および対角行列 \(\Lambda\in\mathbb{R}^{n\times n}\) によって対角化可能である.
すなわち
\begin{align} \forall A\in\mathbb{C}^{n\times n} \left(A=A^* \Longrightarrow \exists P\in\mathbb{C}^{n\times n} \ \exists\Lambda(=\mathrm{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n))\in\mathbb{R}^{n\times n} \ (P^*P=O\wedge\Lambda=A=P^{-1}\Lambda P)\right) \end{align}定理の証明
定理1の証明
任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) を考える.
\(A\) の任意の固有値 \(\lambda\in\mathbb{C}\) および \(\lambda\) に対応する固有ベクトル \(\boldsymbol{x}\ (\neq\boldsymbol{0})\in\mathbb{C}^n\) について
\begin{align} \bar{\lambda}\|\boldsymbol{x}\|^2 &=\bar{\lambda}\boldsymbol{x}^*\boldsymbol{x} =(\bar{\lambda}\bar{\boldsymbol{x}})^T\boldsymbol{x} =(\bar{A}\bar{\boldsymbol{x}})^T\boldsymbol{x}\\ &=\boldsymbol{x}^*A^*\boldsymbol{x} =\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{x}^*\lambda\boldsymbol{x}\\ &=\lambda\|\boldsymbol{x}\|^2 \end{align}よって \(\lambda=\bar{\lambda}\) より定理1は示された.