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| \(\mathbb{C}\) | → | \(\mathbb{R}\) |
と読み替えることで, 実行列空間における直交行列に関する記述と一致します.
ユニタリ行列
定義1. ユニタリ行列
\(U\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ U\ がユニタリ行列である\overset{\mathrm{def}}{\iff} U^*\,U=I \]本章「線形代数」では以下, n次元ユニタリ行列の全体を \(\boldsymbol{U}^{n\times n}\) と表す.
\[ \boldsymbol{U}^{n\times n}= \{A\in\mathbb{C}^{n\times n}\ |\ A^*A=I\ \} \]定義2. ユニタリ変換
内積空間 \(V\) および \(T:V\rightarrow V\) について
\[ T\ がユニタリ変換である\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\quad \bigl(\langle T(\boldsymbol{x}),T(\boldsymbol{y})\rangle= \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle\bigr) \]定義3. ユニタリ系
内積空間 \(V\) および \( \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots, \boldsymbol{x}_n\in V \) について
\[ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots, \boldsymbol{x}_n\in V \ がユニタリ系を構成する \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall i,j\in\{1,2,\cdots,n\} \ \left(\ \langle\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j\rangle =\delta_{ij}\ \right) \]ただし \(\delta_{ij}\) はKroneckerのデルタを表す.
定理1. ユニタリ行列とユニタリ変換
任意の \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) および \(T:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n; \ T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\) について
\[ A\in\boldsymbol{U}^{n\times n}\iff T\ がユニタリ変換である. \]定理2. ユニタリ行列とユニタリ系
任意の \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ A\in\boldsymbol{U}^{n\times n}\iff A\ の列ベクトルがユニタリ系を構成する \]定理3. ユニタリ行列の固有値
任意のユニタリ行列について, 全ての固有値の絶対値は1である.
すなわち
\[ \forall A\in\boldsymbol{U}^{n\times n} \ \forall\lambda\in\boldsymbol{\Lambda}(A) \ \bigl(\ |\lambda|=1\ \bigr) \]定理の証明
定理1の証明
任意の \(U\in\mathbb{C}^{n\times n},\quad T:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n; \ T(\boldsymbol{x})=U\boldsymbol{x}\) および \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^n\) について
\begin{align} \langle T(\boldsymbol{x}),T(\boldsymbol{y})\rangle &=\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{y}\rangle\\ &=(U\boldsymbol{y})^*\ U\boldsymbol{x}\\ &=\boldsymbol{y}^*\ U^*\,U\boldsymbol{x}\\ \end{align} \[ U^*\,U=I\iff \langle T(\boldsymbol{x}),T(\boldsymbol{y})\rangle= \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle \]よって定理1は示された.
定理2の証明
任意の \(U\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ U=[\boldsymbol{u}_1\ \boldsymbol{u}_2\ \cdots\ \boldsymbol{u}_n] \quad(\boldsymbol{u}_i\in\mathbb{C}^n,\ i=1,2,\cdots,n) \]とおくと
\[ U^*\,U= \begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1^*\\ \boldsymbol{u}_2^*\\ \vdots\\ \boldsymbol{u}_n^* \end{bmatrix} [\boldsymbol{u}_1\ \boldsymbol{u}_2\ \cdots\ \boldsymbol{u}_n] = \begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1^*\boldsymbol{u}_1& \boldsymbol{u}_1^*\boldsymbol{u}_2& \cdots& \boldsymbol{u}_1^*\boldsymbol{u}_n\\ \boldsymbol{u}_2^*\boldsymbol{u}_1& \boldsymbol{u}_2^*\boldsymbol{u}_2& \cdots& \boldsymbol{u}_2^*\boldsymbol{u}_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \boldsymbol{u}_n^*\boldsymbol{u}_1& \boldsymbol{u}_n^*\boldsymbol{u}_2& \cdots& \boldsymbol{u}_n^*\boldsymbol{u}_n\\ \end{bmatrix} \] \[ U^*\,U=I\iff\forall i,j\in\{1,2,\cdots,n\} \ (\boldsymbol{u}_i^*\boldsymbol{u}_j=\delta_{ij}) \]よって定理2は示された.