フーリエ変換
定義1. フーリエ変換
絶対可積分関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) について
\[ F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \]によって定義される関数 \(F:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) を \(f\) のフーリエ変換という.
定義2. フーリエ逆変換
絶対可積分関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) および \(f\) のフーリエ変換 \(F:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) について
\[ \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega \]を \(f\) のフーリエ逆変換という.
定理1. フーリエ逆変換の各点収束
任意の絶対可積分関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) および \(t_0\in\mathbb{R}\) について,
\(f\) が \(\mathbb{R}\) で区分的に滑らかであり \(t_0\) において半微分可能であるならば,
\(f\) のフーリエ逆変換は \(t_0\) において
\[ \frac{f(t_0-0)+f(t_0+0)}{2} \]に収束する.