Z変換
定義1. Z変換
数列 \(\{x_n\}\) について
\[ X(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x_nz^{-n} \]によって定義される関数 \(X:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) を \(\{x_n\}\) のZ変換という.
また, \(\{x_n\}\) のZ変換を
\[ X(z)=\mathcal{Z}[x_n] \]と表記することがある.
定理1. Laplace変換との関係
Z変換はLaplace変換の離散化である.
すなわち, 任意の関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) および
\[x_n=f(nT)\ \left(T(>0)=const.\right)\]によって定義される数列 \(\{x_n\}\) について
\begin{align} F(s)&\triangleq\mathcal{F}\left[f(t)\sum^\infty _{n=-\infty}\delta(t-nT)\right]\\[4pt] X(z)&\triangleq\mathcal{Z}[x_n]\\[9pt] F(s)&=X(e^{sT}) \end{align}ただし \(\delta:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) は単位インパルス関数である.