行列の定値性の定義
定義1. 正定値・非負定値・半正定値
任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\begin{align} Aが正定値である&\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}>0)\\ Aが非負定値である&\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}\ge0)\\ Aが半正定値である&\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}\ge0) \wedge\exists\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}=0) \end{align}定義2. 負定値・非正定値・半負定値
任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\begin{align} Aが負定値である&\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}\lt0)\\ Aが非正定値である&\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}\le0)\\ Aが半負定値である&\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}\le0) \wedge\exists\boldsymbol{x}(\neq\boldsymbol{0}) \in\mathbb{C}^n\ (\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x}=0) \end{align}非負定値行列の性質
定理1. 非負定値行列の固有値
任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ Aが非負定値である \iff\forall\lambda\in\mathbb{R}\ \left(\exists\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x})\Rightarrow\lambda\ge0\right) \]定理2. 非負定値行列の分解
任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ Aが非負定値である \iff\exists B\in\mathbb{C}^{n\times n}\ (A=B^*B) \]定理の証明
定理2の証明
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まず「\(\Longrightarrow\)」を示す.
任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について, Hermit行列の対角化可能性に関する定理 より
\(A=P\Lambda P^*\) を満足するユニタリ行列 \(P\in\mathbb{C}^{n\times n}\) および対角行列 \(\Lambda\in\mathbb{R}^{n\times n}\) が存在する.
このとき定理1より
\begin{align} \Lambda&=\mathrm{diag}\left(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\right)\quad(\lambda_i\ge0)\\[5pt] \Lambda^{1/2}&=\mathrm{diag}\left(\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2},\cdots,\sqrt{\lambda_n}\ \right)\\ \end{align}よって
\begin{align} A&=P\Lambda P^*\\ &=P\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}P^*\\ &=(\Lambda^{1/2}P^*)^*\Lambda^{1/2}P^* \end{align} -
次に「\(\Longleftarrow\)」を示す.
\(\exists B\in\mathbb{C}^{n\times n}\ (A=B^*B)\) を満足するHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) を考える.
このとき任意の \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n\) について
\begin{align} \boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x} &=\boldsymbol{x}^*B^*B\boldsymbol{x}\\ &=(B\boldsymbol{x})^*B\boldsymbol{x}\\ &=\|B\boldsymbol{x}\|^2\\ &\ge0 \end{align}
以上より定理2は示された.