距離空間の定義
定義1. 距離関数
ある集合 \(S\) および写像 \(d:S\times S\rightarrow\mathbb{R}\) について
\(d\) が \(S\) 上の距離関数であるとは, \(d\) が以下の4条件を満たすことをいう.
任意の \(x,y,z\in S\) について
\begin{align} &d(x,y)\ge0&&[正値性]\\[2pt] &d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y&&[非退化性]\\[2pt] &d(x,y)=d(y,x)&&[対称性]\\[2pt] &d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)&&[三角不等式] \end{align}定義2. 距離空間
非空集合 \(S\) と \(S\) 上の距離関数 \(d:S\times S\rightarrow\mathbb{R}\) の組 \((S,d)\) を距離空間という.
定義3. 開球
距離空間 \((S,d)\) および \(x_0\in S,\ r>0\in\mathbb{R}\) について
\[ S_r(x_0)=\{x\in S\ |\ d(x,x_0)\lt r\}\]を中心 \(x_0\), 半径 \(r\) の開球という.
定義4. 開集合と閉集合
距離空間 \((S,d)\) および \(U\subseteq S\) について
\[ UがSの開集合である\overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall x_0\in U,\exists r>0\in\mathbb{R} \ (S_r(x_0)\subseteq U) \] \[ UがSの閉集合である\overset{\mathrm{def}}{\iff} \overline{U}がSの開集合である \]