Archimedesの原理

\begin{align} \forall a,b>0\in\mathbb{R}\quad \exists n\in\mathbb{N}\quad(na\gt b) \end{align}

証明

背理法によって示す.

\(\forall n\in\mathbb{N}\ (na\le b)\) を満足する \(a,b>0\in\mathbb{R}\) について

\(f(n)\triangleq na\) と定められる \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\) は単調増加かつ上に有界であるから

任意の \(\epsilon\in(0,a)\) に対して

\[ \forall n\gt\delta\in\mathbb{N}\quad (\sup(f)-f(n)<\epsilon) \]

を満足する \(\delta(\epsilon)\in\mathbb{N}\) が存在する.

このとき任意の \(n\gt\delta(\epsilon)\in\mathbb{N}\) について

\[f(n+1)=f(n)+a\gt\sup(f)+a-\epsilon\gt\sup(f)\]

これは \(\sup(f)\) の定義に矛盾し, 定理は示された。