Hermite行列の定義
定義1. Hermite行列
任意の正方行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について
\[ Aが\mathrm{Hermite}行列である \overset{\mathrm{def}}{\iff}A=A^* \]本章「線形代数」では以下, \(n\) 次元Hermite行列の全体を \(\boldsymbol{H}^{n\times n}\) と表す.
\[ \boldsymbol{H}^{n\times n}= \{A\in\mathbb{C}^{n\times n}\ |\ A=A^*\} \]Hermite行列の性質
定理1. Hermite行列の固有値
任意のHermite行列の固有値はすべて実数である.
\begin{align} \forall A\in\boldsymbol{H}^{n\times n} \ \bigl(\ \boldsymbol{\Lambda}(A)\subset\mathbb{R}\ \bigr) \end{align}定理2. Hermite行列の固有ベクトル
任意のHermite行列について, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.
\[ \forall A\in\boldsymbol{H}^{n\times n} \ \forall\lambda_1,\lambda_2\in\boldsymbol{\Lambda}(A) \ \bigl(\ \lambda_1\neq\lambda_2\Longrightarrow\ W_A(\lambda_1) \ \bot\ W_A(\lambda_2)\ \bigr) \]定理3. Hermite行列の対角化
任意のHermite行列はユニタリ行列によって対角化可能である.
\begin{align} \forall A\in\boldsymbol{H}^{n\times n} \ \exists P\in\boldsymbol{U}^{n\times n} \ \exists\Lambda\in\boldsymbol{D}^{n\times n} \ (A=P^{-1}\Lambda P) \end{align}定理の証明
定理1の証明
任意の \(A\in\boldsymbol{H}^{n\times n}\) を考える.
\(A\) の任意の固有値 \(\lambda\in\mathbb{C}\) および \(\lambda\) に対応する固有ベクトル \(\boldsymbol{x}\ (\neq\boldsymbol{0})\in\mathbb{C}^n\) について
\begin{align} \bar{\lambda}\|\boldsymbol{x}\|^2 &=\bar{\lambda}\boldsymbol{x}^*\boldsymbol{x} =(\bar{\lambda}\bar{\boldsymbol{x}})^T\boldsymbol{x} =(\bar{A}\bar{\boldsymbol{x}})^T\boldsymbol{x}\\ &=\boldsymbol{x}^*A^*\boldsymbol{x} =\boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{x}^*\lambda\boldsymbol{x}\\ &=\lambda\|\boldsymbol{x}\|^2 \end{align}よって \(\lambda=\bar{\lambda}\) より定理1は示された.
定理2の証明
任意の \(A\in\boldsymbol{H}^{n\times n}\) を考える.
2つの相異なる任意の固有値 \(\lambda_1\neq\lambda_2\in\mathbb{C}\) および それらに対応する固有ベクトル \(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\ (\neq\boldsymbol{0})\in\mathbb{C}^n\) について
\begin{align} \lambda_1\boldsymbol{x}_1^*\boldsymbol{x}_2 &=\lambda_1\boldsymbol{x}_2^*\boldsymbol{x}_1 =\boldsymbol{x}_2^*\lambda_1\boldsymbol{x}_1 =\boldsymbol{x}_2^*A\boldsymbol{x}_1\\ &=(A\boldsymbol{x}_1)^*\boldsymbol{x}_2 =\boldsymbol{x}_1^*A^*\boldsymbol{x}_2 =\boldsymbol{x}_1^*A\boldsymbol{x}_2\\ &=\lambda_2\boldsymbol{x}_1^*\boldsymbol{x}_2 \end{align}よって \(\boldsymbol{x}_1^*\boldsymbol{x}_2=0\) より定理2は示された.