行列の定値性

定義1. 正定値・非負定値・半正定値

任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について

定義2. 負定値・非正定値・半負定値

任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について

定理1. 非負定値行列の固有値

任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について

定理2. 非負定値行列の分解

任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について

定理2の証明

1. まず「\(\Longrightarrow\)」を示す.

   任意のHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) について, Hermit行列の対角化可能性に関する定理 より

   \(A=P\Lambda P^*\) を満足するユニタリ行列 \(P\in\mathbb{C}^{n\times n}\) および対角行列 \(\Lambda\in\mathbb{R}^{n\times n}\) が存在する.

   このとき定理1より

   \begin{align} \Lambda&=\mathrm{diag}\left(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\right)\quad(\lambda_i\ge0)\\[5pt] \Lambda^{1/2}&=\mathrm{diag}\left(\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2},\cdots,\sqrt{\lambda_n}\ \right)\\ \end{align}

   よって

   \begin{align} A&=P\Lambda P^*\\ &=P\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}P^*\\ &=(\Lambda^{1/2}P^*)^*\Lambda^{1/2}P^* \end{align}

2. 次に「\(\Longleftarrow\)」を示す.

   \(\exists B\in\mathbb{C}^{n\times n}\ (A=B^*B)\) を満足するHermite行列 \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) を考える.

   このとき任意の \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n\) について

   \begin{align} \boldsymbol{x}^*A\boldsymbol{x} &=\boldsymbol{x}^*B^*B\boldsymbol{x}\\ &=(B\boldsymbol{x})^*B\boldsymbol{x}\\ &=\|B\boldsymbol{x}\|^2\\ &\ge0 \end{align}

以上より定理2は示された.