定義
定義1. Riemannゼータ関数
\[ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s} \ \left(\Re s>1\right) \]および \(s\ne1\) への解析接続によって定義される \(\zeta:\mathbb{C}\setminus\{1\}\rightarrow\mathbb{C}\) をRiemannゼータ関数という.
定理
定理1. 関数等式
\[ \zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right) \ \Gamma(s)\ \zeta(s) \]証明
補題1.
\[ \frac{\Gamma(\frac{s}{2})}{n^s\pi^{\frac{s}{2}}}= \int_0^\infty x^{\frac{s}{2}}e^{-n^2\pi x}\frac{dx}{x} \]補題2.
\[ \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\psi\left(\frac{1}{x}\right) +\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2} \]ただし
\[ \psi(x)\triangleq\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2\pi x} \]補題3.
\[ \frac{\Gamma(\frac{s}{2})}{\Gamma(\frac{1-s}{2})} =2^{1-s}\pi^{-\frac{1}{2}}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(s) \]定理1の証明
\(\Re s>1\) のとき, 補題1および補題2より
\begin{align} \frac{\Gamma(\frac{s}{2})}{\pi^{\frac{s}{2}}}\zeta(s) &=\sum_{n=1}^\infty \frac{\Gamma(\frac{s}{2})}{n^s\pi^{\frac{s}{2}}}\\[4pt] &=\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty x^{\frac{s}{2}}e^{-n^2\pi x}\frac{dx}{x}\\[4pt] &=\int_0^\infty x^{\frac{s}{2}} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2\pi x}\frac{dx}{x}\\[3pt] &=\int_0^\infty x^{\frac{s}{2}}\psi(x)\frac{dx}{x} \ \left(\psi(x)\triangleq\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2\pi x}\right)\\[4pt] &=\int_0^1 x^{\frac{s}{2}} \left\{\frac{1}{\sqrt{x}}\psi\left(\frac{1}{x}\right) +\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\right\}\frac{dx}{x} +\int_1^\infty x^{\frac{s}{2}}\psi(x)\frac{dx}{x}\\[5pt] &=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}+\int_0^1 x^{\frac{s-1}{2}} \psi\left(\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{x}+\int_1^\infty x^{\frac{s}{2}}\psi(x)\frac{dx}{x}\\[5pt] &=-\frac{1}{s(1-s)}+\int_1^\infty (x^{\frac{1-s}{2}}+x^{\frac{s}{2}})\psi(x)\frac{dx}{x}\\[4pt] \end{align}右辺は \(s\rightarrow1-s\) と置き換えても変化しないから
\[ \frac{\Gamma(\frac{s}{2})}{\pi^{\frac{s}{2}}}\zeta(s) =\frac{\Gamma(\frac{1-s}{2})}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}\zeta(1-s) \]よって補題3より
\begin{align} \zeta(1-s)&=\frac{\Gamma(\frac{s}{2})}{\Gamma(\frac{1-s}{2})}\pi^{\frac{1}{2}-s}\zeta(s)\\[6pt] &=2^{1-s}\pi^{-\frac{1}{2}}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(s)\ \pi^{\frac{1}{2}-s}\zeta(s)\\[7pt] &=2(2\pi)^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right) \ \Gamma(s)\ \zeta(s) \end{align}補題1の証明
\[ \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt \]より
\begin{align} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) &=\int_0^\infty t^{\frac{s}{2}-1}e^{-t}dt\\[4pt] &=n^2\pi\int_0^\infty (n^2\pi x)^{\frac{s}{2}-1}e^{-n^2\pi x}dx\\[5pt] &=(n^2\pi)^{\frac{s}{2}}\int_0^\infty x^{\frac{s}{2}}e^{-n^2\pi x}\frac{dx}{x}\\ \end{align}よって示された.
補題2の証明
準備中
補題3の証明
準備中