定理
定理1. 素数の逆数和は発散する
\[ \sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}\ \frac{1}{p}=\infty \]ただし \(\mathbb{P}\) は素数の全体を表す.
証明
補題1.
\[ \log(1-p^{-s})=-\sum_{m=1}^\infty\frac{p^{-ms}}{m} \]補題2.
\[ \forall s>1\in\mathbb{R} \ \left(\frac{1}{s-1}\lt\zeta(s)\right) \]ただし \(\zeta:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) はRiemannゼータ関数を表す.
補題3.
\[ \forall s>1\in\mathbb{R} \ \left(\sum_{m=2}^\infty\frac{P(ms)}{m}\lt1\right) \]ただし
\[ P(s)\triangleq\sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}p^{-s} \]定理1の証明
Riemannゼータ関数 \(\zeta(s):\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) に関するオイラー積表示は
\[ \zeta(s)=\prod_{p\ \in\ \mathbb{P}}(1-p^{-s})^{-1} \]両辺の自然対数をとると, 補題1より
\begin{align} \log\zeta(s)&=\log\prod_{p\ \in\ \mathbb{P}}(1-p^{-s})^{-1}\\[4pt] &=-\sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}\log(1-p^{-s})\\ &=\sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}\ \sum_{m=1}^\infty\ \frac{p^{-ms}}{m}\\[4pt] &=\sum_{m=1}^\infty\ \frac{P(ms)}{m}\\ &=P(s)+\sum_{m=2}^\infty\ \frac{P(ms)}{m} \quad\left(P(s)\triangleq\sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}p^{-s}\right) \end{align}以下 \(s>1\in\mathbb{R}\) とすると, 補題2・3より
\begin{align} P(s)&=\log\zeta(s)-\sum_{m=2}^\infty\ \frac{P(ms)}{m} \gt\log\frac{1}{s-1}-1 \end{align}よって
\begin{align} \sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}\ \frac{1}{p}&=\lim_{s\rightarrow1+0}P(s)=\infty \end{align}補題1の証明
関数 \(f(x)\triangleq\log(1+x)\) をマクローリン展開する.
\[ f^{(m)}(x)=\frac{(-1)^{m-1}(m-1)!}{(1+x)^m}\quad(m=1,2,3,\cdots) \]より
\begin{align} f(x)&=\sum_{m=0}^\infty\frac{f^{(m)}(0)}{m!}x^m\\[4pt] &=\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^{m-1}(m-1)!}{m!}x^m\\[3pt] &=-\sum_{m=1}^\infty\frac{(-x)^m}{m} \end{align}よって
\[ \log(1-p^{-s})=f(-p^{-s})=-\sum_{m=1}^\infty\frac{p^{-ms}}{m} \]補題2の証明
\(s>1\in\mathbb{R}\) のとき
\[ f(x)=x^{-s} \]によって定義される \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) は単調減少関数であるから
\begin{align} \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}&\gt\int_1^\infty x^{-s}dt=\frac{1}{s-1} \end{align}補題3の証明
\(s>1\in\mathbb{R}\) のとき
\begin{align} \sum_{m=2}^\infty\frac{P(ms)}{m} &<\sum_{m=2}^\infty\ \frac{P(m)}{m}\\ &=\sum_{p\ \in\ \mathbb{P}} \ \sum_{m=2}^\infty\frac{p^{-m}}{m}\\ &=\sum_{p\ \in\ \mathbb{P}}\ \frac{1}{p(p-1)}\\ &<\sum_{n=2}^\infty\ \frac{1}{n(n-1)}\\[3pt] &=\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\\[7pt] &=1\\ \end{align}