Rolleの定理
定理1. Rolleの定理
\((a,b)\) で微分可能な任意の連続関数 \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) について
\[ f(a)=f(b)\Longrightarrow\exists \ c\in(a,b)\ (f'(c)=0) \]定理の証明
補題1. 極値と微分係数
任意の開区間 \(I\subseteq\mathbb{R}\) および \(c\in I\) で微分可能な関数 \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) について
\[ f(c)=\max_{x\in I}f(x)\vee f(c)=\min_{x\in I}f(x) \Longrightarrow f'(c)=0 \]定理1の証明
\((a,b)\) で微分可能な任意の連続関数 \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) を考える.
-
\[f(a)=f(b)=\min_{x\in I}f(x)\]
のとき
\[f(c)=\max_{x\in I}f(x)\]を満足する \(c\in (a,b)\) が存在し, 補題1より
\[f'(c)=0\] -
\[f(a)=f(b)\neq \min_{x\in I}f(x)\]
のとき
\[f(c)=\min_{x\in I}f(x)\]を満足する \(c\in (a,b)\) が存在し, 補題1より
\[f'(c)=0\]
以上より, 定理1は示された.