複素フーリエ級数
定義1. 複素フーリエ係数
周期 \(2L\ \left[L\in(0,\infty)\right]\) の周期関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) について
\[ c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)\exp\left(-i\frac{n\pi}{L}t\right)dt\quad(n\in\mathbb{Z}) \]と定義される複素数列 \(\{c_n\}\) を \(f\) の複素フーリエ係数という.
定義2. 複素フーリエ級数
周期関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) および \(f\) の複素フーリエ係数 \(\{c_n\}\) について
\[ \sum_{n=-\infty}^\infty c_n\exp\left(i\frac{n\pi}{L}t\right) \]を \(f\) の複素フーリエ級数という.
定理1. 複素フーリエ級数の各点収束
任意の周期関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) および \(t_0\in\mathbb{R}\) について,
\(f\) が \(\mathbb{R}\) で区分的に滑らかであり \(t_0\) において半微分可能であるならば,
\(f\) の複素フーリエ級数は \(t_0\) において
\[ \frac{f(t_0-0)+f(t_0+0)}{2} \]に収束する.