Z変換

定義1. Z変換

数列 \(\{x_n\}\) について

\[ X(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x_nz^{-n} \]

によって定義される関数 \(X:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) を \(\{x_n\}\) のZ変換という.

また, \(\{x_n\}\) のZ変換を

\[ X(z)=\mathcal{Z}[x_n] \]

と表記することがある.

定理1. Laplace変換との関係

Z変換はLaplace変換の離散化である.

すなわち, 任意の関数 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\) および

\[x_n=f(nT)\ \left(T(>0)=const.\right)\]

によって定義される数列 \(\{x_n\}\) について

\begin{align} F(s)&\triangleq\mathcal{F}\left[f(t)\sum^\infty _{n=-\infty}\delta(t-nT)\right]\\[4pt] X(z)&\triangleq\mathcal{Z}[x_n]\\[9pt] F(s)&=X(e^{sT}) \end{align}

ただし \(\delta:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) は単位インパルス関数である.

定理1の証明

\begin{align} F(s)&=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\sum^\infty _{n=-\infty}\delta(t-nT)\ e^{-st}dt\\[4pt] &=\sum^\infty_{n=-\infty}\int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{-st}\delta(t-nT)dt\\[4pt] &=\sum^\infty_{n=-\infty}f(nT)e^{-snT}\\[4pt] &=\sum^\infty_{n=-\infty}x_nz^{-n} \quad(z\triangleq e^{sT})\\[8pt] &=X(e^{sT}) \end{align}