平均値の定理
定理1. Lagrangeの平均値の定理
\((a,b)\) で微分可能な任意の連続関数 \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) について
\[ \exists c\in(a,b)\quad(b-a)f'(c)=f(b)-f(a) \]定理2. Cauchyの平均値の定理
\((a,b)\) で微分可能な任意の連続関数 \(f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) について
\[ \exists c\in(a,b)\quad[g(b)-g(a)]f'(c)=[f(b)-f(a)]g'(c) \]証明
定理1の証明
定理2において \(g(x)=x\) とすることで定理1が示される.
定理2の証明
\((a,b)\) で微分可能な任意の連続関数 \(f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) を考える.
\[ h(x)\triangleq [g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x) \]\(h:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) は \([a,b]\) で連続かつ \((a,b)\) で微分可能であり
\[h(a)=h(b)\]よって Rolleの定理 より \(h'(c)=0\) を満足する \(c\in(a,b)\) が存在し
\[ 0=h'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)-[f(b)-f(a)]g'(c) \]以上より, 定理2は示された.