Banachの不動点定理 (縮小写像の定理)

距離空間 \((X,d)\) および写像 \(f:X\rightarrow X\) について

\[ fが縮小写像である\overset{\mathrm{def}}{\iff} \exists p\in[0,1)\ \forall x,y\in X \ (\ d(f(x),f(y))\le pd(x,y)\ ) \]

集合 \(X\) および \(x^*\in X\), 写像 \(f:X\rightarrow X\) について

\[ x^*がfに関する不動点である \overset{\mathrm{def}}{\iff}x^*=f(x^*) \]

完備距離空間 \((X,d)\) および縮小写像 \(f:X\rightarrow X\) について

任意の \(x_0\in X\) において定義された数列 \(\{x_n\}(x_n=f(x_{n-1}))\) は収束し,

その収束値 \(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\) は \(f\) に関する唯一の不動点である.

定理の証明

数列 \(\{x_n\}\) が収束することを示す.

任意の \(i\in\mathbb{Z^+}\) について
\begin{align} d(x_{i+1},x_i)&=d(f(x_i),f(x_{i-1}))\\[2pt] &\le pd(x_i,x_{i-1})\\ &\ \;\vdots\\ &\le p^id(x_1,x_0) \end{align}
任意の \(m,n\in\mathbb{Z^+}(m>n)\) について
\begin{align} d(x_m,x_n)&=\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_{i})\\ &\le d(x_1,x_0)\sum_{i=n}^{m-1}p^i\\ &\le d(x_1,x_0)\sum_{i=n}^{\infty}p^i\\[2pt] &= d(x_1,x_0)\frac{p^n}{1-p} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow}0 \end{align}
よって数列 \(\{x_n\}\) はCauchy点列であり, \((X,d)\) は完備であるから \(\{x_n\}\) は収束する.
次に数列 \(\{x_n\}\) の収束値 \(x^*\) が不動点であることを示す.
\begin{align} x^*&=\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n-1})\\ &=f\left(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n-1}\right)\\[2pt] &=f(x^*) \end{align}
よって \(x^*\) は \(f\) に関する不動点である.
最後に, \(f\) に関する不動点 \(x\neq x^*\) が存在しないことを, 背理法によって示す.

\(x=f(x)\) かつ \(x\neq x^*\) なる \(x\) について
\begin{align} d(x,x^*)&=d(f(x),f(x^*))\\[2pt] &\le pd(x,x^*)\\[2pt] &\lt d(x,x^*) \end{align}
よって矛盾が導かれるから \(x^*\) は \(f\) に関する唯一の不動点である.

以上より, 定理1は示された.